Aspectos de Lógica Elementar - parte 2

Resumo. Segundo texto da série, resume outros aspectos da lógica elementar, como a lógica modal alética e sua relação com a necessidade e possibilidade, a distinção entre operadores modais de dicto e de re, a validade lógica, a epistemologia da verdade necessária e contingente, o raciocínio indutivo e dedutivo, a importância das provas e crenças na formação do conhecimento, o papel dos argumentos de autoridade e os desafios das crenças fundamentais, finalizando com uma análise das limitações da lógica aristotélica e seu impacto na validade dos silogismos[i].

Capítulo 7: Modalidade[ii]. A lógica modal alética surge a partir da clássica agregando-se necessidade e possibilidade - operadores de formação de frases que não são verofuncionais[iii]. Lidando com modos de verdade, uma frase necessariamente verdadeira, além de verdadeira, não pode ser falsa, caso contrário é contingentemente verdadeira. A lógica modal ajuda a esclarecer, então, se as verdades necessárias são verdades lógicas ou matemáticas, ou se não são e por aí vai.

Ela se desenvolveu, no século XX, com a linguagem dos mundos possíveis que já está presente na validade e não tem a ver com a existência de realidades paralelas, mas com a aplicação da lógica quantificada ao raciocínio modal. Conforme Polónio, um raciocínio é válido se e somente se não há qualquer condição de verdade, ou mundo possível, em que a conclusão seja falsa apesar de todas as premissas serem verdadeiras. Se uma frase é verdadeira, ela o é no mundo atual, como as coisas são. Porém, para traduzir a linguagem modal para a linguagem de mundos possíveis, um mundo deve ser acessível a outro, uma possibilidade relativa definida como: “o mundo possível β é acessível a α se e somente se toda a frase verdadeira em β é possível em α”, quer dizer, nas condições em que tudo o que é verdadeiro em beta é possível em alfa, beta é acessível a alfa.

Os operadores modais aléticos podem ser de dicto (do dito – aplicada sobre a proposição) ou de re (da coisa – sobre o predicado da coisa), envolvendo aspectos sintáticos e existenciais. Há uma questão envolvendo o escopo dos operadores modais (necessidade ou possibilidade) em relação aos quantificadores (existe e todo). No dito, o operador modal aparece antes do quantificador como em "Necessariamente, o Presidente do Brasil é brasileiro." – aqui há necessidade da proposição completa. Na coisa, o quantificador aparece antes do operador modal como em “O Presidente do Brasil é necessariamente brasileiro.”. No primeiro caso, não importa muito o indivíduo, seu âmbito é menos forte.

Para além da análise de frases simples, a distinção do dito e da coisa ajuda na definição da validade porque uma definição de validade de re não é correta (forma válida e conclusão falsa [em um mundo possível]), coisa que a de dicto é. Conforme o exemplo de Polónio, “Se um argumento válido tem premissas verdadeiras, a sua conclusão será necessariamente verdadeira” – foca na consequente, mas há argumentos cuja conclusão não é necessariamente verdadeira. Já “Necessariamente, se as premissas de um argumento válido forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira” abrange toda a frase, não só a conclusão, mas na relação entre premissas e conclusão.  A diferença reside unicamente no escopo do operador modal, e esse detalhe sintático é o que define o próprio conceito de validade lógica.[iv]

Conforme dito na nota 3, Polónio retoma a distinção entre por um lado a natureza da verdade em si e por outro como conhecemos essa verdade. Ora, uma verdade pode ser necessária ou contingente, a depender de seu valor nos mundos possíveis. Já o sujeito conhece uma verdade seja a priori ou a posteriori, isto é, se independentemente de informação sensorial ou experiência. Isso no campo da episteme, mas semanticamente, nas modalidades do analítico e do sintético.  Nesse ponto destaca-se o argumento ontológico de Santo Anselmo, como sendo um salto de uma possibilidade meramente conceitual para uma inferência substancial a respeito da existência de Deus. Citando: “A mera possibilidade conceitual é apenas o que não se sabe conceptualmente, e do que não se sabe há que fazer silêncio inferencial porque daí nada de substancial se conclui validamente.”

Capítulo 8: Além da linguagem. Aqui Polónio trata da indução com um tipo de raciocínio não dedutivo e que vai buscar uma realidade extralinguística, além das condições de verdade. Ocorre que os raciocínios indutivos não se fundam em premissas e conclusões, isto é, na validade que tratamos no texto anterior; ele tem graus, como é o caso de generalizações e previsões, mas, no âmago de um apoio indutivo está a probabilidade que uma conclusão pode ser verdadeira se as premissas também o forem.

Porém se nosso conhecimento é obtido raciocinando-se, Polónio lembra que é a crença que liga o agente com a realidade: ela não é factiva como o conhecimento de verdades[v]. Mesmo para uma crença verdadeira é preciso que haja prova para que se torne conhecimento e provar é um processo falível. Polónio contextualiza a prova como algo que contribui para a conclusão, mas não evita erros, então devemos sempre tentar detectá-los e buscar novas informações para corrigi-los e que sejam relevantes para o raciocínio indutivo. Isso mostra que as provas indutivas são dinâmicas, ao passo que as dedutivas são estáticas, embora Polónio frise que, mesmo em raciocínios dedutivos acabamos por obter suas premissas indutivamente, mostrando que a validade não é tudo o que conta.

Interessante notar que há várias fontes de provas para nossas crenças, como memória, sentidos e compreensão e elas devem ser contrastadas visando descobrir erros, tendo em vista a responsabilidade epistêmica. Porém, provas favoráveis a crenças podem ser falsas, como enfatiza Polónio e levando em conta que se há provas, há contraprovas. Mesmo nas deduções podemos tomar princípios lógicos errados fazendo com que o método de prova deva ser sempre revisto.

No mais das vezes, a crença de outra pessoa serve como prova, caso de especialistas e argumentos de autoridade. Que Nero apeou fogo em Roma é coisa que se sabe indiretamente por historiadores (crença).  Se o conhecimento é muito especializado, há necessidade de mais especialistas, conforme prossegue a argumentação de Polónio. Mas, mais indireto, já que nossas crenças dependem das crenças deles e depende de que várias pessoas as examinem em busca de erros e comuniquem seus resultados.

Desidério mostra, por outro lado, que pode haver argumento de autoridade falacioso se baseado em prova que não é boa, isto é, não é cogente.  A autoridade deve ser epistemicamente relevante, coisa que pode ser verificada pela reprodução das provas que ela utilizou. Se não há conhecimento factual ou biográfico relevante para a crença, devemos suspendê-la. Além do que nós devemos ter atenção na ocorrência de uma disparidade epistêmica entre o especialista e o leigo, o que pode distorcer o entendimento e aceitação das provas.

Na sequência, Polónio enfrenta dificuldades relativas à crenças fundamentais que baseiam as demais, sejam pelo fato de “só” serem comuns, ou quando se assume de início uma falsidade. Devemos sempre nos valer das contraprovas, das revisões e da busca de crenças mais fortes. Crenças falsas podem se originar tanto de informações erradas como de nossa interpretação errônea. Esse ponto é muito sensível, em nossa opinião, porque, conforme o resumo de Polónio, há sempre uma relevância estatística a que somos expostos: há pessoas do nosso círculo nos fornecendo crenças; há relevância de crenças de pessoas influentes; há malevolência epistêmica na mídia quando oculta seus objetivos; há dificuldade em confrontar crenças estatísticas, mesmo com provas que as refutem.

Assim como nas crenças estatísticas, há crenças que vemos como causais por se valerem de eventos sucessivos, mesmo que repetidos, mas que não tem relação probatória – deveriam ser motivo de investigação científica. Mas, por fim, há a racionalização, isto é, processo de sustentar uma crença suprimindo-se provas e visando passar uma impressão de responsabilidade epistêmica.

Apêndice: Lógica aristotélica. O apêndice aborda o silogismo aristotélico que se vale de axiomas que não são provados. Nossos autores enfatizam as limitações da lógica aristotélica, mesmo que tendo perdurado até o século XIX. Ela confunde, por exemplo, um termo sujeito (todo grego) com um sujeito particular (Sócrates) sobre o qual se predica. Ela também exclui termos vazios, impedindo que se raciocine com eles. Alguns desses fatores, somados com regras que foram criadas para determinar a validade dos silogismos, embora não constitutivos dela, limita bastante a silogística aristotélica fazendo com que não se aplique a raciocínios indutivos em geral.

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[i] Resumo de Lógica Elementar: Raciocínio, linguagem e realidade de Desidério Murcho, por Artur Polónio em https://criticanarede.com/logicaelementar.html. Continuação de Aspectos de Lógica Elementar - parte 1: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2025/09/aspectos-de-logica-elementar-parte-1.html

[ii] Aqui trata-se de um resumo do resumo de um assunto complexo que precisa ser aprofundado futuramente.

[iii] Se a modalidade alética é desenvolvida tendo em mente a necessidade e possibilidade genuínas, isto é, aos modos das próprias verdades, há as modalidades semânticas do analítico e do sintético e epistémicas do a priori e do a posteriori que dizem respeito aos modos como são conhecidas.

[iv] Com a ajuda do Gemini: https://g.co/gemini/share/a1e7c0417fd5.

[v] Lembrar do conhecimento como crença verdadeira justificada: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2023/11/teses-quineanas.html. 

Graus de autoevidência*

Russell inicia dizendo que geralmente todas nossas crenças são capazes de prova por alguma razão ou mesmo outra crença, embora isso não ocorra conscientemente. Porém, ao subir na escala das razões, questionando-as, chegaremos a princípios gerais evidentes e não dedutíveis, ao nível da indução, e princípios lógicos não demonstráveis. Russell ressalta que até proposições aritméticas simples, mesmo que deduzidas, têm tanta evidência quanto princípios lógicos e os princípios éticos como: "we ought to pursue what is good”, embora esses últimos mais questionáveis.

Russell diz que, ao comparar princípios gerais com casos particulares, os últimos são mais evidentes, como no caso de uma rosa que estamos vendo, não podemos dizer que é e não é vermelha[i], excetuando-se aí os casos que usam abstração. Somam-se aos princípios gerais as verdades autoevidentes diretamente derivadas da sensação, chamadas por Russell de verdades da percepção e sobre as quais recaem julgamentos da percepção, embora não verdadeiros ou falsos. São verdades obtidas dos dados-dos-sentidos, porém não se pode dizer de uma amostra de cor que é verdadeira ou falsa, ele simplesmente existe.

Há, então, um julgamento da existência dos dados-dos-sentidos e outro que o analisa, ambos considerados por Russell verdades autoevidentes. No segundo caso, dados-dos-sentidos têm constituintes como um pedaço de vermelho que é redondo e nossos julgamentos revelam essas relações. Outro julgamento intuitivo abordado por Russell é a memória, a qual coloca na frente de nossa mente um objeto que remete ao passado trazendo todo o conhecimento do que vivenciamos. Russell comenta que os julgamentos da memória dependem do quão recente foram nossas experiências: as mais recentes mais vívidas, porém as mais antigas não nos trazem uma certeza evidente. Ou seja, há graus de evidência e fidedignidade do que apreendemos pela memória.

Ele enfatiza essa característica da autoevidência, que são os graus, desde os mais altos como verdades da percepção e princípios lógicos, passando pelo princípio da indução até chegar à variação da memória e julgamentos éticos e estéticos. Assim, Russell ressalta a importância dos graus de autoevidência na teoria do conhecimento, pois, se proposições podem ter graus de evidência sem serem verdadeiras, onde houver um conflito entre verdade e evidência, as proposições mais autoevidentes devem ser mantidas. Por fim, Russell diz que a noção de autoevidência varia entre a verdade (alto grau) e a presunção (baixo grau) e desenvolverá tal conceito associado ao conhecimento e o erro, porém antes investigará a natureza da verdade.

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* Bertrand Russell, Problems of Philosophy. ON INTUITIVE KNOWLEDGE. Acessado em 3/7/2019: http://www.ditext.com/russell/rus11.html. Ver o seguinte fichamento e os anteriores: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/07/o-conhecimento-priori-lida-com-relacoes.html.

[i] O caminho natural é de particular ao geral, ou seja, é indutivo!

Princípios lógicos*

A teoria do conhecimento de Russell aborda os princípios de inferência (considerados óbvios) que são aliados do princípio de indução na tentativa de validar a experiência e que possuem graus de certeza similares aos dados-dos-sentidos. Ele nos recorda que princípios lógicos partem de casos particulares para leis gerais, assim como a aritmética (“2+2=4”, “a+b=c”, etc.) e que há um tipo de implicação geral: “whatever follows from a true proposition is true” que, se parece trivial, deve ser investigada pelo filósofo. Ele enumera exemplos de tais princípios lógicos classificados como “Leis do Pensamento”:

(1) The law of identity: 'Whatever is, is.'

(2) The law of contradiction: 'Nothing can both be and not be.'

(3) The law of excluded middle: 'Everything must either be or not be.'

Investigando a história, Russell aponta para a distinção entre empiristas (Locke, Berkeley e Hume) e racionalistas (Leibniz e Descartes) tomando partido dos segundos: para os empiristas todo conhecimento vem da experiência, já os racionalistas admitem ideias inatas (entre as quais Russell inclui os princípios lógicos), base do conhecimento. Ideias inatas são referidas por Russell pelo termo a priori: algo que não vem da experiência, mas é base para ela. Por outro lado, de acordo com Russell, os racionalistas erram ao propor conhecimentos que podem ser deduzidos independentemente da experiência. Ele enfatiza que todo conhecimento de algo existente é empírico, ou seja, provém da experiência, direta ou indiretamente. Então, conhecer o que existe envolve dados-dos-sentidos e sem eles há somente um conhecimento hipotético.[i]

Russell cita como conhecimento a priori, mas não lógico, o valor ético. São julgamentos que consideramos valorosos não por um fim útil, mas por nossa própria conta, independentemente da experiência. Tais julgamentos éticos, p.ex., felicidade ao invés de tristeza, etc., não podem ser provados pela experiência, pois é impossível deduzir o que deveria ser do que é, embora sejam aplicados na experiência. Ponto crítico, a matemática é para Russell a priori e um princípio geral que pode ser pensado abstratamente, embora os empiristas considerem um conhecimento por indução: ver muitas vezes duas coisas juntas somando quatro, etc. Assim como as propriedades do triângulo que podem ser tiradas de apenas um triângulo, do particular direto ao geral. Na aritmética, “2+2=4” tão logo se evidencie a verdade dessa proposição não precisa ser reiterado na generalização da experiência, pois já atinge grau de certeza. Russell usa o famoso exemplo dos “outros mundos possíveis”: mesmo que existam outros mundos é inconcebível que a soma “2+2” não seja sempre “4”, isto é, não é um fato que pode mudar.

Russell então compara: 1.) um conhecimento factual "Todo homem é mortal" que necessita de muitos exemplos (generalização empírica) de que todos morremos para termos certeza com 2.) o conhecimento lógico matemático do tipo “2+2=4” que requer apenas um exemplo para ser tomado como certo para reabilitar a possibilidade do conhecimento dedutivo (do geral ao particular). P.ex., Pedro e João somados a Paulo e Celso somam quatro homens embora não os conheçamos, mas ele rechaça o argumento dedutivo clássico: “Se todo homem é mortal; Sócrates é homem; Sócrates é mortal” mostrando que dependeria de um conhecimento indutivo de Sócrates para convencer de maneira mais clara.[ii] Nas palavras do filósofo:

This illustrates the difference between general propositions known a priori, such as 'two and two are four', and empirical generalizations such as 'all men are mortal'. In regard to the former, deduction is the right mode of argument, whereas in regard to the latter, induction is always theoretically preferable, and warrants a greater confidence in the truth of our conclusion, because all empirical generalizations are more uncertain than the instances of them.[iii]

Russell, então, nos avisa que investigará como é possível o conhecimento de proposições a priori (lógica, matemática pura, ética) e de proposições gerais, onde há casos infinitos de análise, recorrendo ao nobre Kant.

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(*) Bertrand Russell, Problems of Philosophy. ON OUR KNOWLEDGE OF GENERAL PRINCIPLES. Acessado em 31/05/2019: http://www.ditext.com/russell/rus7.html. Ver o seguinte fichamento e os anteriores: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/05/sobre-inducao.html.

[i] Percebemos que ao longo da investigação Russell mantém seu compromisso com dados-dos-sentidos.

[ii] Um silogismo é um termo filosófico com o qual Aristóteles designou a conclusão deduzida de premissas, a argumentação lógica perfeita. É um argumento dedutivo constituído de três proposições declarativas (duas premissas e uma conclusão) que se conectam de tal modo que, a partir das duas primeiras (as premissas), é possível deduzir uma conclusão. https://pt.wikipedia.org/wiki/Silogismo, acessado em 8/6/2019.

[iii] Nota-se a concordância de Russell com a lógica indutiva moderna em detrimento da dedução dos gregos.

Sobre a indução*

Como Russell nos mostrou até agora[i], o conhecimento das coisas existentes e que adquirimos pela nossa experiência nos limita e ampliar esse conhecimento passa pela inferência (p.ex. sabermos que o barulho do trovão é sempre precedido por um raio, etc.). A respeito do sol que nasce todo dia, Russell se pergunta se confiar que ele nascerá novamente amanhã é um resultado cego do que vemos diariamente ou poderia ser uma crença razoável.

Ele argumenta que é plausível supor que o sol nasça amanhã porque nasce todos os dias (resultado cego), mas podemos inferir essa crença das leis do movimento da terra, dos astros, etc., leis essas em que confiamos porque sempre aconteceram (crença razoável). Ou seja e ainda assim, a probabilidade do sol nascer amanhã se basearia nas nossas observações diárias e, por isso, coisas que ocorrem frequentemente seriam a causa para que acreditemos que continuem ocorrendo frequentemente, embora possam ser enganosas, às vezes. Nesse sentido, Russell cita o inusitado caso do frango que sempre foi alimentado diariamente por seu dono até que teve seu pescoço torcido. Então, não estaríamos na mesma posição desse frango? Que certeza nós teríamos para esperar que tais eventos ocorram?

A pergunta se volta se podemos crer nessa uniformidade da natureza, onde há leis gerais como as leis do movimento e a lei da gravidade que são usadas pela ciência e tomadas como “sem exceção”. Elas se mostram válidas até agora, mas podemos crer que o que houve no passado continuará a ocorrer, por alguma razão específica? Haveria uma lei garantidora do futuro que não o próprio passado (que já foi futuro...)? Há garantias de que duas coisas que normalmente estão associadas continuarão a estar? A partir dessas perguntas, Russell diz: “On our answer to this question must depend the validity of the whole of our expectations as to the future, the whole of the results obtained by induction, and in fact practically all the beliefs upon which our daily life is based.”

Logo, estamos no terreno da probabilidade que, se pode sempre aumentar, nunca é certa já que o último exemplo pode ser uma falha (lembremos do frango!!). Russell, então, define o princípio da indução baseado na frequência da associação em que, se elevando a probabilidade, pode chegar à certeza. E do particular ele formula a regra geral:

“(a) The greater the number of cases in which a thing the sort A has been found associated with a thing the sort B, the more probable it is (if no cases of failure of association are known) that A is always associated with B;

(b) Under the same circumstances, a sufficient number of cases of the association of A with B will make it nearly certain that A is always associated with B, and will make this general law approach certainty without limit.”

Essa probabilidade, conclui Russell, se assenta em um conjunto de dados verificados e novos dados não a invalidam, mas criam um novo quadro. Apesar disso, se o princípio da indução não é garantidor do futuro, ele é um grande aliado nas convicções diárias pois as leis gerais, a despeito das inúmeras evidências, por si só nada dizem sobre o futuro, se não se assentarem em tal princípio.

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* Bertrand Russell, Problems of Philosophy. ON INDUCTION. Acessado em 28/05/2019: http://www.ditext.com/russell/rus6.html.

[i] Dos fichamentos anteriores: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/04/o-mundo-nao-existei.html, https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/04/o-espaco-fisico-i.html, https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/05/ideias-de-deus.html.