A matemática e a metafísica grega

De como a matemática inspirou a metafísica [i]

Século VI. De acordo com Vargas, metafísica e matemática surgiram simultaneamente na Grécia, no século VI a.C., embora a matemática já existisse no Egito/Mesopotâmia como uma sabedoria instintiva dos papiros egípcios e babilônicos, uma arte de cálculo e para resolver problemas.

Por outro lado, a matemática grega era baseada em proposições lógicas e, tanto ela como a filosofia jônica, eram saberes teóricos. Teoria que significava ver além das aparências, pelos olhos do espírito. É a episteme teoritike, que trata do que é perene e imutável, seja a arché, physis, ideia ou substância. Em uma ciência sobre o que é o estável da realidade, os objetos matemáticos (figuras, números) satisfazem essa crença.

Naquela época, havia um misticismo relacionado com a matemática que, absorta em uma atmosfera de mistério, tinha aulas secretas e a saudação do número 4 como sagrado. A ordem religiosa dos matemáticos acreditava na separação de corpo e alma e na reencarnação. Associada a ela surge uma metafisica com teoria da realidade radical, inspirada na harmonia numérica, musical e celestial.

Vargas cita ainda uma relação com o xamanismo, que trazia as aventuras de Orfeu, a religião de Dionísio, libertação da alma, possibilidade de ver o futuro e perfeição eterna. A physis perfeita e eterna subjacente às aparências do mundo permite o surgimento da teoria dos números e da raiz da realidade. Entretanto, se a união da geometria com a metafisica tem como base o que se disse, ela entra em crise com a descoberta dos irracionais, pois incomensuráveis.

Século V. Vargas, por conseguinte, salta 100 anos para abordar Eudoxo e a teoria das proporções. O século V é o das tragédias gregas, da Guerra do Peloponeso e das invasões persas. Também de avanços na geometria, com teoremas independentes sobre as propriedades exatas das figuras planas. E, dado isso, a criação do sistema lógico postulacional dedutivo com a apagoge, a dedução geométrica.

No século V, os pitagóricos convertem as proporções, figuras, linhas contínuas, isto é, ideias geométricas em números discretos. É a passagem das proporções harmoniosas à teoria dedutiva.

Século IV. Aqui, além de novos teoremas, aparece a filosofia de Platão e um modelo analítico, como na República, em que se pode “ver” imagens (figuras) como ideias (ex. diâmetro). Esquematizando o que Vargas nos traz.

Dianoia	Nous
Matemática: conhecimento dedutivo de imagens	Realidade: conhecimento intuitivo das ideias. Ideias: entidades reais, perfeitas.
Inteligência discursiva	Nous: mundo do saber (ideias)

Então, a matemática inspira a metafísica e temos a transição do número (Pitágoras) para a ideia.

Por fim, Aristóteles. A marcha continua, Platão postula a perenidade indelével dos objetos da matemática. Theudio, precursor de Euclides, já tinha um tratado de Geometria, com entes geométricos geradores de princípios.

Aristóteles aprendeu os métodos analíticos, onde ideias contêm outras ideais, para usar na doutrina do ser, tendo a geometria como prolegômeno da metafisica. Dos postulados para as proposições, há inspiração metodológica.

Porém, uma vez erigida a metafísica, ela esclarece os princípios da geometria e ciências particulares. E o objeto platônico (eidos) é abstraído em uma forma aristotélica. Durante Aristóteles, foi sendo edificado um sistema postulacional à maneira dos Elementos de Euclides. Há dedução de um teorema a partir de princípios e a geração dos entes vivos a partir da semente.

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[i] Conforme A matemática e a metafísica grega, Capítulo 3 de Vargas, M. (1994). Para uma filosofia da tecnologia. São Paulo: Alfa Omega. 

Repouso[i]

Uma coisa em repouso está como que isolada das demais em um determinado estado que possivelmente não pode ser influenciada ou talvez não se contradiga.

Porém, o estado de repouso não é um estado duradouro, pois tudo está em movimento. Os astros estão em constante movimento, o sol, o universo, etc. Sentimos a chuva e o vento. A rocha de tão dura vira areia. Nosso corpo nunca está em repouso pois há sempre um coração batendo e sangue circulando, quando vivo e plena decomposição quando morto, até ser completamente putrefato e começar a pertencer a outros corpos ou materiais.

Conclui-se, então, que o repouso não existe por si só, mas que ele é uma parte do movimento, uma situação intermediária, pois nada permanece indefinidamente em repouso senão que se volta ao movimento como forma primordial.

As consequências dessa conclusão implicam em duvidar de tudo que signifique repouso ou permanência. A duvidar do uno e do estável. A duvidar de ideais abstratas ou das formas de Platão. Assim, uma ideia abstrata é uma quimera, ela não existe senão no pensamento e nele não permanece, ela surge e se esvai. É na concretude que as coisas acontecem e de onde surgem as ideias e onde elas terminam, passando por nossa mente e nossos pensamentos.

A fórmula matemática eterna e verdadeira é um erro, uma petição de princípio. A expressão “2 + 2 = 4” acaba ali, após lê-la. Aquele número 2 não é um algo imutável, mas algo aplicável e dispensável. O eterno não é eterno, mas tudo é enquanto dura e tudo passará. Diante disso só nos resta lutar em movimento e para uma direção que leve à subtração de dogmatismos.

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[i] Pensamentos espontâneos a partir de um trecho de THALHEIMER, A. INTRODUÇÃO AO MATERIALISMO DIALÉTICO. Fundamentos da Teoria Marxista. ~pg. 52. Acessado em 19/10/2019: https://www.marxists.org/portugues/thalheimer/1928/materialismo/Introducao-ao-Materialismo-Dialetico.pdf

Criticismo Filosófico [i]

A Ideia Absoluta de Hegel. Russell diz que é prática comum na filosofia o uso de um raciocínio metafísico a priori para tratar de dogmas da religião, universo, matéria, etc., que, porém, não sobreviveria a um escrutínio crítico. Para ele, o representante desse pensamento é Hegel, que estabelece que o todo é composto por partes fragmentárias incapazes de existirem sem o resto do mundo.  Nesse sentido, o filósofo, a partir de qualquer amostra de realidade pode ver o todo, como se cada pedaço fosse enganchado com o próximo e assim por diante. Russell diz que, de acordo com Hegel, essa incompletude aparece tanto no mundo das coisas quanto no dos pensamentos, composto por ideias enganchadas que, através da contradição, uma ideia se transforma em antítese para daí virar síntese que, ainda incompleta, inicia um novo ciclo e, sucessivamente, avança até a "Ideia Absoluta".[ii] Essa ideia absoluta descreve a realidade absoluta que seria o que Deus vê: uma unidade espiritual imutável, perfeita e eterna.

Os problemas com a Ideia Absoluta. Russell argumenta que, apesar de parecerem sublimes, ao serem investigados os argumentos são confusos. Hegel diz que o que é incompleto não subsiste por si só e depende de relações com outras coisas que fazem parte de sua natureza. Por natureza de uma coisa, Russell entende que seja “all the truths about the thing”. Se parece claro que a verdade que liga uma coisa à outra não subsiste se a outra coisa não subsiste, essa verdade não é parte da coisa, mas, segundo Hegel, é parte da natureza da coisa. Russell, então, enfatiza a confusão da natureza entre conhecimento de coisas e conhecimento de verdades. Se assumirmos que a natureza da coisa consiste nas verdades da coisa, deveríamos conhecer todas as relações da coisa com todo o universo, porém isso não é possível e ainda assim conhecemos a coisa, mesmo quando sua natureza não é completa. Conhecemos uma coisa por familiaridade até mesmo sem conhecer nenhuma proposição da coisa. Ou seja, conhecer uma coisa não requer conhecimento da natureza da coisa, conforme acima, embora esse conhecimento esteja envolvido no conhecimento de qualquer proposição da coisa[iii]. Russell diz que o fato de uma coisa ter relações não quer dizer que elas sejam logicamente necessárias já que não podemos deduzir suas relações, somente o faríamos depois de conhecê-las. Ou seja, não podemos provar que o universo forma um todo como queria Hegel, e o que se seguiria disso: a irrealidade do espaço, tempo, matéria, etc. O resultado é a inviabilidade de uma análise sistêmica e a filosofia segue a análise indutiva e científica.

Argumentação Metafísica. Segundo Russell, o trabalho metafísico se assentou em provar que as características do mundo eram autocontraditórias e por isso não reais. Porém, os modernos vão no sentido de mostrar que essas contradições eram ilusórias e que muito pouco pode ser provado a priori de considerações do que deve ser. Por exemplo, espaço e tempo parecem ser infinitos em extensão, por mais que tentemos não achamos um fim. Por menor que seja um espaço ou tempo sempre podemos dividi-los novamente e assim sucessivamente até o infinito. Porém, contra esses fatos aparentes, filósofos argumentaram que não haveriam coleções infinitas de coisas. Daí surge uma contradição entre a aparente natureza do espaço e do tempo e a suposta impossibilidade de coleções infinitas. Quando Kant enfatizou essa contradição deduzida da impossibilidade do tempo e do espaço declarados por ele subjetivos, os filósofos trataram tempo espaço como sendo aparentes e não fazendo parte do mundo real, como ele é.

Contribuição da Lógica. Porém o trabalho de matemáticos, principalmente Cantor, mostrou que a impossibilidade de coleções infinitas era um erro, invalidando uma das grandes construções metafísicas. Conforme Russell: "They are not in fact self-contradictory, but only contradictory of certain rather obstinate mental prejudices". Os matemáticos não só mostraram que o espaço como se supõe ser é possível, como também que outras formas de espaço são possíveis como a lógica pode mostrar. Por exemplo, alguns axiomas de Euclides que influenciaram filósofos retiraram sua aparente necessidade de nossa familiaridade com o espaço atual conhecido e não com alguma fundação lógica a priori. Imaginando mundos em que esses axiomas fossem falsos, os matemáticos criaram espaços diferentes do nosso e mesmo colocando em dúvida se nosso espaço é estritamente euclidiano. Até então a experiência descrevia uma possibilidade de espaço que a lógica mostrou impossível, agora a lógica mostra muitos espaços possíveis que a experiência apenas parcialmente decide entre eles. Russell abre o mundo para enormes possibilidades onde pouco é conhecido: "Thus, while our knowledge of what is has become less than it was formerly supposed to be, our knowledge of what may be is enormously increased". A lógica, então, torna-se a grande libertadora da imaginação apresentando inúmeras alternativas para a experiência decidir, quando possível, entre os mundos oferecidos.

Criticismo Filosófico. O conhecimento, não fica limitado à experiência atual, mas ao que podemos aprender da experiência, conforme o conhecimento por descrição, que não se prende a uma experiência direta. Nesse tipo de conhecimento, porém, precisamos de uma "conexão de universais" que nos permite inferir um objeto de um dado. É a conexão de universais que nos permite extrair dados-dos-sentidos de objetos físicos, ou seja, dá munição para a experiência, assim como da lei da causalidade para lei da gravitação. A lei de gravitação, segundo Russell, é uma combinação da experiência com um princípio a priori como o princípio de indução.[iv] O conhecimento filosófico é um tipo de conhecimento científico, a diferença é o criticismo que procura inconsistências nos conhecimentos científicos e da vida diária. Embora a investigação de Russell tenha refutado, criticamente, um sistema metafísico como não estando a altura da ciência, ao contrário, a crítica filosófica corrobora em muito o conhecimento empreendido pela humanidade. Porém, Russell impõe um certo limite na crítica já que um ceticismo absoluto (blank doubt) impede qualquer tipo de conhecimento tornando-se destrutivo. A essência da crítica, para Russell, é a dúvida metodológica cartesiana, analisando cada aspecto do conhecimento, como feito nessa investigação com os dados-dos-sentidos que pareciam indubitáveis e levaram a rejeitar uma semelhança direta com o objeto físico. A filosofia não rejeitaria um conhecimento impassível de objeção. O criticismo filosófico analisa cada parte aparente de conhecimento em seu mérito e retém o que se mostra ser de fato um conhecimento, admitido o erro proveniente da falibilidade humana. Ocorre que a filosofia reduz a chance desse erro tornando-o às vezes irrisório, mais do que isso não é prudente esperar.

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[i] Bertrand Russell, Problems of Philosophy. THE LIMITS OF PHILOSOPHICAL KNOWLEDGE. Acessado em 18/7/2019: http://www.ditext.com/russell/rus14.html. Ver o seguinte fichamento e os anteriores: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/08/conhecimento-erro-e-opiniao-provavel.html.

[ii] Ideia absoluta que “has no incompleteness, no opposite, and no need of further development”.

[iii] Hence, (1) acquaintance with a thing does not logically involve a knowledge of its relations, and (2) a knowledge of some of its relations does not involve a knowledge of all of its relations nor a knowledge of its 'nature' in the above sense.

[iv] Thus our intuitive knowledge, which is the source of all our other knowledge of truths, is of two sorts: pure empirical knowledge, which tells us of the existence and some of the properties of particular things with which we are acquainted, and pure a priori knowledge, which gives us connexions between universals, and enables us to draw inferences from the particular facts given in empirical knowledge. Our derivative knowledge always depends upon some pure a priori knowledge and usually also depends upon some pure empirical knowledge.

Princípios lógicos*

A teoria do conhecimento de Russell aborda os princípios de inferência (considerados óbvios) que são aliados do princípio de indução na tentativa de validar a experiência e que possuem graus de certeza similares aos dados-dos-sentidos. Ele nos recorda que princípios lógicos partem de casos particulares para leis gerais, assim como a aritmética (“2+2=4”, “a+b=c”, etc.) e que há um tipo de implicação geral: “whatever follows from a true proposition is true” que, se parece trivial, deve ser investigada pelo filósofo. Ele enumera exemplos de tais princípios lógicos classificados como “Leis do Pensamento”:

(1) The law of identity: 'Whatever is, is.'

(2) The law of contradiction: 'Nothing can both be and not be.'

(3) The law of excluded middle: 'Everything must either be or not be.'

Investigando a história, Russell aponta para a distinção entre empiristas (Locke, Berkeley e Hume) e racionalistas (Leibniz e Descartes) tomando partido dos segundos: para os empiristas todo conhecimento vem da experiência, já os racionalistas admitem ideias inatas (entre as quais Russell inclui os princípios lógicos), base do conhecimento. Ideias inatas são referidas por Russell pelo termo a priori: algo que não vem da experiência, mas é base para ela. Por outro lado, de acordo com Russell, os racionalistas erram ao propor conhecimentos que podem ser deduzidos independentemente da experiência. Ele enfatiza que todo conhecimento de algo existente é empírico, ou seja, provém da experiência, direta ou indiretamente. Então, conhecer o que existe envolve dados-dos-sentidos e sem eles há somente um conhecimento hipotético.[i]

Russell cita como conhecimento a priori, mas não lógico, o valor ético. São julgamentos que consideramos valorosos não por um fim útil, mas por nossa própria conta, independentemente da experiência. Tais julgamentos éticos, p.ex., felicidade ao invés de tristeza, etc., não podem ser provados pela experiência, pois é impossível deduzir o que deveria ser do que é, embora sejam aplicados na experiência. Ponto crítico, a matemática é para Russell a priori e um princípio geral que pode ser pensado abstratamente, embora os empiristas considerem um conhecimento por indução: ver muitas vezes duas coisas juntas somando quatro, etc. Assim como as propriedades do triângulo que podem ser tiradas de apenas um triângulo, do particular direto ao geral. Na aritmética, “2+2=4” tão logo se evidencie a verdade dessa proposição não precisa ser reiterado na generalização da experiência, pois já atinge grau de certeza. Russell usa o famoso exemplo dos “outros mundos possíveis”: mesmo que existam outros mundos é inconcebível que a soma “2+2” não seja sempre “4”, isto é, não é um fato que pode mudar.

Russell então compara: 1.) um conhecimento factual "Todo homem é mortal" que necessita de muitos exemplos (generalização empírica) de que todos morremos para termos certeza com 2.) o conhecimento lógico matemático do tipo “2+2=4” que requer apenas um exemplo para ser tomado como certo para reabilitar a possibilidade do conhecimento dedutivo (do geral ao particular). P.ex., Pedro e João somados a Paulo e Celso somam quatro homens embora não os conheçamos, mas ele rechaça o argumento dedutivo clássico: “Se todo homem é mortal; Sócrates é homem; Sócrates é mortal” mostrando que dependeria de um conhecimento indutivo de Sócrates para convencer de maneira mais clara.[ii] Nas palavras do filósofo:

This illustrates the difference between general propositions known a priori, such as 'two and two are four', and empirical generalizations such as 'all men are mortal'. In regard to the former, deduction is the right mode of argument, whereas in regard to the latter, induction is always theoretically preferable, and warrants a greater confidence in the truth of our conclusion, because all empirical generalizations are more uncertain than the instances of them.[iii]

Russell, então, nos avisa que investigará como é possível o conhecimento de proposições a priori (lógica, matemática pura, ética) e de proposições gerais, onde há casos infinitos de análise, recorrendo ao nobre Kant.

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(*) Bertrand Russell, Problems of Philosophy. ON OUR KNOWLEDGE OF GENERAL PRINCIPLES. Acessado em 31/05/2019: http://www.ditext.com/russell/rus7.html. Ver o seguinte fichamento e os anteriores: https://www.reflexoesdofilosofo.blog.br/2019/05/sobre-inducao.html.

[i] Percebemos que ao longo da investigação Russell mantém seu compromisso com dados-dos-sentidos.

[ii] Um silogismo é um termo filosófico com o qual Aristóteles designou a conclusão deduzida de premissas, a argumentação lógica perfeita. É um argumento dedutivo constituído de três proposições declarativas (duas premissas e uma conclusão) que se conectam de tal modo que, a partir das duas primeiras (as premissas), é possível deduzir uma conclusão. https://pt.wikipedia.org/wiki/Silogismo, acessado em 8/6/2019.

[iii] Nota-se a concordância de Russell com a lógica indutiva moderna em detrimento da dedução dos gregos.